DÍA 3: FÍSICA II

El Potencial Magnético y el Rotacional

Conocimientos Básicos Necesarios:

Concepto de campo magnético ($\vec{B}$).
Cálculo del rotacional (visto hoy en Matemáticas).

El Potencial Vectorial Magnético ($\vec{A}$)

En el Día 1 vimos que el campo eléctrico viene del gradiente de un potencial escalar ($\vec{E} = -\nabla V$). En magnetismo, como no hay cargas magnéticas aisladas, el campo magnético $\vec{B}$ se obtiene haciendo el rotacional de un potencial vectorial $\vec{A}$.

\vec{B} = \nabla \times \vec{A}

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: En cierta región, el potencial vectorial magnético está dado por $\vec{A} = (y^2)\hat{i} + (x^2)\hat{j} + (0)\hat{k}$ (en Wb/m). Determina el vector campo magnético $\vec{B}$ en el punto $P(2, 1, 0)$.

Paso 1: Aplicar la definición $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$

\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 & x^2 & 0 \end{vmatrix}

Paso 2: Calcular el determinante

$\hat{i}$: $\frac{\partial}{\partial y}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2) = 0 - 0 = 0$
$\hat{j}$: $- \left[ \frac{\partial}{\partial x}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(y^2) \right] = 0$
$\hat{k}$: $\frac{\partial}{\partial x}(x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2x - 2y$

Por tanto, el campo magnético genérico es: $\vec{B}(x,y,z) = (2x - 2y)\hat{k}$ Tesla.

Paso 3: Evaluar en el punto $P(2, 1, 0)$

Sustituimos $x=2$ e $y=1$:

\vec{B}(2,1,0) = (2(2) - 2(1))\hat{k} = (4 - 2)\hat{k} = 2\hat{k} \text{ T}

El campo magnético en ese punto apunta directamente hacia el eje Z positivo con una magnitud de 2 Teslas.

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