DÍA 1: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Análisis Vectorial y Operadores Diferenciales

Conocimientos Básicos Necesarios:

Derivadas parciales (saber derivar respecto a $x$ asumiendo $y, z$ como constantes).
Álgebra vectorial básica (producto escalar $\cdot$ y producto vectorial $\times$).

En ingeniería no trabajamos en líneas rectas, trabajamos en el espacio tridimensional. Para medir cómo cambian las magnitudes en el espacio $\mathbb{R}^3$, usamos el operador Nabla ($\nabla$).

1. El Gradiente ($\nabla f$)

Aplica a campos escalares (temperatura, presión). Genera un vector que indica la dirección de máxima tasa de aumento.

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}

2. La Divergencia ($\nabla \cdot \vec{F}$)

Aplica a campos vectoriales mediante producto escalar. Si $\nabla \cdot \vec{F} > 0$, el punto es una fuente (expansión). Si es $< 0$, es un sumidero (compresión).

\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: Sea el campo de velocidades de un fluido dado por $\vec{V}(x,y,z) = (x^2y)\hat{i} + (z^3 - 3xy)\hat{j} + (2xz^2)\hat{k}$. Calcula la Divergencia del campo en el punto $P(1, -1, 2)$ y determina si el fluido se está expandiendo o comprimiendo en ese punto.

Paso 1: Cálculo analítico de la Divergencia

Calculamos las derivadas parciales de cada componente:

$\frac{\partial V_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = 2xy$
$\frac{\partial V_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(z^3 - 3xy) = -3x$
$\frac{\partial V_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2xz^2) = 4xz$

Sumamos: $\nabla \cdot \vec{V} = 2xy - 3x + 4xz$

Paso 2: Evaluación en el punto $P(1, -1, 2)$

Sustituimos $x=1, y=-1, z=2$:

\nabla \cdot \vec{V} = 2(1)(-1) - 3(1) + 4(1)(2) = -2 - 3 + 8 = 3

Conclusión: Como el resultado es $3 > 0$, el punto actúa como una fuente, es decir, el fluido se está expandiendo (divergiendo) en ese punto.

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