DÍA 11: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

La Transformada de Laplace

Conocimientos Básicos Necesarios:

Integración impropia (límites hasta el infinito).
Descomposición en fracciones parciales.

Definición Matemática

La transformada de Laplace convierte una función del tiempo $f(t)$ en una función de variable compleja $F(s)$. Se define mediante la integral:

L\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt

La magia reside en su propiedad fundamental para las derivadas. Si transformas una derivada, ¡desaparece el cálculo diferencial y se vuelve algebraico!

L\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)

Ejercicio Tipo Examen: Cálculo por Definición

Enunciado: Calcula la Transformada de Laplace de la función exponencial $f(t) = e^{at}$ aplicando la definición de la integral. Asume que $s > a$.

Paso 1: Plantear la integral

F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} (e^{at}) dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} dt

Paso 2: Resolver la integral impropia

La integral de una exponencial $e^{kt}$ es $\frac{1}{k} e^{kt}$. Aquí $k = -(s-a)$:

F(s) = \left[ \frac{-1}{s-a} e^{-(s-a)t} \right]_{0}^{\infty}

Paso 3: Evaluar los límites

En el límite superior ($t \to \infty$): Como $s > a$, el exponente es fuertemente negativo. $e^{-\infty}$ tiende a $0$.
En el límite inferior ($t = 0$): $e^0 = 1$.

F(s) = (0) - \left( \frac{-1}{s-a} \cdot 1 \right) = \frac{1}{s-a}

Conclusión: $L\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$. Con esta y un par de fórmulas más en una tabla, puedes resolver circuitos RLC y sistemas mecánicos complejos sin tener que hacer integrales nunca más.

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