DÍA 10: MECÁNICA DE FLUIDOS

La Teoría de la Capa Límite (Boundary Layer)

Conocimientos Básicos Necesarios:

Ecuación de Navier-Stokes y fricción viscosa (Día 7).
Ley de Newton de la viscosidad: $\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}$.

El Concepto de Prandtl (1904)

Antes de 1904, la aerodinámica no podía explicar la resistencia al avance. Prandtl descubrió que la fricción viscosa en fluidos como aire o agua solo importa en una capa delgadísima pegada a la superficie del objeto sólido. Fuera de esa capa, el fluido se comporta como ideal (Bernoulli).

Condición de no deslizamiento: En $y=0$ (la pared), la velocidad del fluido es $u=0$.
Espesor de la capa límite ($\delta$): Es la altura $y$ donde el fluido alcanza el 99% de la velocidad de la corriente libre externa ($U_\infty$).

Ejercicio Conceptual Clave: Esfuerzo Cortante

Enunciado: Cerca de la placa plana, el perfil de velocidades de un flujo de aire laminar dentro de la capa límite se puede aproximar por una parábola: $u(y) = U_\infty \left[ 2(\frac{y}{\delta}) - (\frac{y}{\delta})^2 \right]$. Encuentra una expresión para el esfuerzo cortante ($\tau_w$) en la pared sólida ($y=0$).

Paso 1: Derivar el perfil de velocidades

Necesitamos el gradiente de velocidad $\frac{\partial u}{\partial y}$:

\frac{\partial u}{\partial y} = U_\infty \left[ \frac{2}{\delta} - \frac{2y}{\delta^2} \right]

Paso 2: Evaluar el gradiente en la pared ($y=0$)

Si sustituimos $y=0$ en la derivada anterior:

\left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{y=0} = U_\infty \left[ \frac{2}{\delta} - 0 \right] = \frac{2 U_\infty}{\delta}

Paso 3: Aplicar la Ley de Viscosidad de Newton

\tau_w = \mu \left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{y=0} = \frac{2 \mu U_\infty}{\delta}

Conclusión: El esfuerzo (la fuerza de arrastre o fricción que siente la pared) depende directamente de la viscosidad ($\mu$), de lo rápido que vaya el fluido fuera ($U_\infty$) e inversamente del grosor de la capa límite ($\delta$). A medida que el fluido avanza por la placa, la capa límite crece (aumenta $\delta$), y por tanto, la fricción local en la pared disminuye.

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