DÍA 10: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP): La Ecuación de Onda

Conocimientos Básicos Necesarios:

La EDP Unidimensional de Onda

Es la ecuación que gobierna las vibraciones de cuerdas, el sonido en un tubo o la luz en el vacío. Relaciona la curvatura espacial con la aceleración temporal:

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

Donde $u(x,t)$ es la perturbación (ej. altura de la cuerda) y $c$ es la velocidad de propagación de la onda.

Ejercicio Tipo Examen: Comprobación de Soluciones (D'Alembert)

Enunciado: Demuestra que la función $u(x,t) = \sin(x - ct)$ es una solución válida para la ecuación de onda unidimensional.

Paso 1: Derivadas respecto al espacio ($x$)

Derivamos la función dos veces respecto a $x$ (tratando a $t$ como constante):

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \cos(x - ct) \cdot (1) = \cos(x - ct) $$ $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\sin(x - ct) $$

Paso 2: Derivadas respecto al tiempo ($t$)

Derivamos la función dos veces respecto a $t$ (la regla de la cadena saca un $-c$ cada vez):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \cos(x - ct) \cdot (-c) = -c \cos(x - ct) $$ $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -c \left[ -\sin(x - ct) \cdot (-c) \right] = -c^2 \sin(x - ct) $$

Paso 3: Sustituir en la EDP original

Comprobamos si el lado izquierdo es igual al derecho:

$$ -c^2 \sin(x - ct) = c^2 \left( -\sin(x - ct) \right) $$ $$ -c^2 \sin(x - ct) = -c^2 \sin(x - ct) $$

Conclusión: La igualdad se cumple. Esto demuestra que cualquier perturbación que viaje rígidamente hacia la derecha con forma $f(x-ct)$ es solución natural de esta ecuación diferencial.

← Volver a la Chuleta (Día 10)