DÍA 9: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Series de Fourier

Conocimientos Básicos Necesarios:

La Serie Trigonométrica

Si $f(t)$ es una función periódica de periodo $T$, bajo ciertas condiciones se puede expresar como una suma infinita de ondas senoidales y cosenoidales:

$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right] $$

El término $\frac{a_0}{2}$ es el Valor Medio (la componente continua o DC en circuitos).

Ejercicio Tipo Examen: Valor Medio de una Onda Cuadrada

Enunciado: Sea $f(t)$ una onda cuadrada de periodo $T = 2\pi$, definida como $f(t) = A$ para $0 \leq t < \pi$ y $f(t) = 0$ para $\pi \leq t < 2\pi$. Calcula su coeficiente $a_0$ y el valor medio de la señal.

Paso 1: Fórmula del coeficiente $a_0$

El coeficiente $a_0$ se calcula integrando la función sobre un periodo completo y dividiendo entre la mitad del periodo:

$$ a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt $$

Paso 2: Plantear la integral a trozos

Como $T = 2\pi$, dividimos la integral en los dos tramos de la onda:

$$ a_0 = \frac{2}{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} A dt + \int_{\pi}^{2\pi} 0 dt \right) $$

Paso 3: Resolver la integral

$$ a_0 = \frac{1}{\pi} \left[ A \cdot t \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} (A\pi - 0) = A $$

Conclusión: El coeficiente es $a_0 = A$. El valor medio de la señal es la mitad de esto, es decir, $\frac{A}{2}$. Tiene sentido lógico: si la mitad del tiempo está en $A$ y la otra mitad en $0$, su promedio exacto es $\frac{A}{2}$.

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