DÍA 8: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

Números Complejos y la Identidad de Euler

Conocimientos Básicos Necesarios:

Trigonometría básica (seno, coseno, arcotangente).
Concepto de número imaginario $j = \sqrt{-1}$. (En ingeniería usamos 'j' en vez de 'i' para no confundirlo con la corriente eléctrica).

La Fórmula de Euler

Es el puente perfecto entre la geometría (trigonometría) y el álgebra (exponenciales). Un número complejo se puede expresar en forma binómica o polar:

z = a + jb = M e^{j\theta} = M (\cos\theta + j\sin\theta)

Módulo ($M$): Longitud del vector. $M = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Fase ($\theta$): Ángulo. $\theta = \arctan(\frac{b}{a})$.

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: Tienes dos números complejos: $z_1 = 3 + j4$ y $z_2 = 5 e^{j\frac{\pi}{2}}$. Calcula su producto $P = z_1 \times z_2$ expresando el resultado final en forma binómica.

Paso 1: Convertir $z_1$ a forma polar

Módulo de $z_1$: $M_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Fase de $z_1$: $\theta_1 = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.1^\circ$ (o $0.927$ radianes).

z_1 = 5 e^{j 53.1^\circ}

Paso 2: Multiplicar en forma polar

Multiplicar exponenciales es facilísimo: se multiplican los módulos y se suman los exponentes (ángulos). Nota: $z_2$ tiene un ángulo de $\frac{\pi}{2}$ radianes, que son $90^\circ$.

P = (5 \times 5) e^{j(53.1^\circ + 90^\circ)} = 25 e^{j 143.1^\circ}

Paso 3: Pasar el resultado a binómica

P = 25 (\cos(143.1^\circ) + j\sin(143.1^\circ)) $$ $$ P \approx 25 (-0.8 + j 0.6) = -20 + j 15

Conclusión: Multiplicar por un número complejo polar equivale a estirar el vector original y rotarlo. Las exponenciales complejas nos salvan la vida en ingeniería eléctrica.

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