DÍA 7: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

El Operador Laplaciano ($\nabla^2$)

Conocimientos Básicos Necesarios:

Cálculo del Gradiente ($\nabla f$) (Día 1).
Cálculo de la Divergencia ($\nabla \cdot \vec{F}$) (Día 1).
Derivadas parciales de segundo orden.

El Laplaciano de un Campo Escalar

Se define como la divergencia del gradiente de una función escalar $f(x,y,z)$. Es la suma de las segundas derivadas parciales puras. Convierte un campo escalar en otro campo escalar.

\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Aparece en las ecuaciones de calor, propagación de ondas y potencial electrostático (Ecuación de Poisson/Laplace).

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: Dada la función de potencial electrostático $V(x,y,z) = 3x^2 y - y^3 + z^2$, calcula su Laplaciano ($\nabla^2 V$). Si $\nabla^2 V = 0$ en una región, se dice que satisface la ecuación de Laplace. ¿Se cumple en este caso?

Paso 1: Calcular las primeras derivadas (Gradiente)

$\frac{\partial V}{\partial x} = 6xy$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 2z$

Paso 2: Calcular las segundas derivadas

Derivamos cada componente por su misma variable otra vez:

$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy) = 6y$
$\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 3y^2) = -6y$
$\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(2z) = 2$

Paso 3: Sumar para obtener el Laplaciano

\nabla^2 V = 6y + (-6y) + 2 = 2

Conclusión: El Laplaciano es constante e igual a 2. Como no es cero, no satisface la ecuación de Laplace en el espacio (físicamente, esto significa que la región tiene una densidad de carga constante según la Ecuación de Poisson).

← Volver a la Chuleta (Día 7)