DÍA 5: FÍSICA II

Transitorios: El Circuito RC

Conocimientos Básicos Necesarios:

Carga de un Condensador (Uniendo Física y EDOs)

Conectamos una batería ($V_0$), una resistencia ($R$) y un condensador descargado ($C$) en serie. Por la Ley de Mallas de Kirchhoff, la suma de voltajes es igual al de la batería:

$$ V_R + V_C = V_0 \implies I R + \frac{q}{C} = V_0 $$

Sustituyendo $I$ por la derivada de la carga, obtenemos la EDO fundamental:

$$ R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_0 $$

Ejercicio Tipo Examen

Enunciado: En un circuito RC con $V_0 = 10$ V, $R = 2$ k$\Omega$ y $C = 5$ mF, el condensador está inicialmente descargado. Resuelve la EDO para encontrar la carga $q(t)$ y calcula cuánto tiempo tardará en alcanzar el 63.2% de su carga máxima.

Paso 1: Resolver la EDO (Separación de variables)

Reordenamos: $\frac{dq}{dt} = \frac{V_0 C - q}{RC}$. Separamos e integramos (similar a Matemáticas):

$$ \int_{0}^{q} \frac{dq}{V_0 C - q} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{RC} $$

Resolviendo, llegamos a la famosa ecuación de carga:

$$ q(t) = C V_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right) $$

Paso 2: Calcular la Constante de Tiempo ($\tau$)

Llamamos $\tau = RC$. Es el tiempo característico del circuito.

$$ \tau = (2 \times 10^3 \ \Omega) \times (5 \times 10^{-3} \text{ F}) = 10 \text{ segundos} $$

Paso 3: Evaluar para $t = \tau$

Si evaluamos la ecuación en $t = \tau = 10$ s, el exponente es $-1$:

$$ q(\tau) = C V_0 (1 - e^{-1}) \approx C V_0 (1 - 0.368) = 0.632 \ C V_0 $$

Conclusión: El 63.2% de la carga máxima ($C V_0$) se alcanza exactamente cuando transcurre un tiempo igual a $\tau$ (10 segundos en este caso).

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